ランダムグラフ上の独立性を持つ対称的な閾値モデル

Symmetrical threshold model with independence on random graphs.

• Bartłomiej Nowak
• Katarzyna Sznajd-Weron

抄録

Erdős-RényiとWatts-Strogatzグラフのペア近似とモンテカルロシミュレーションにより、独立性(ノイズ)を持つ均質な対称閾値モデルを研究する。このモデルは、有名なグラノベッターのしきい値モデルを修正したものである：確率pでは、有権者は独立に行動し、2つの状態のうちの1つをランダムに±1の状態にします。ノイズパラメータpによって誘起される相転移の特徴は、グラフのパラメータと同様にしきい値rに依存することを示す。r=0.5では連続的な相転移のみが観測されますが、r>0.5では不連続な相転移も観測されます。ヒステリシスは平均次数〈k〉と書き換えパラメータβとともに増加する。一方、ヒステリシスの幅と閾値rの間の依存性は非単調である。最大のヒステリシスが観測されるrの値は、社会実験で人を操作するための記述的規範に用いられる多数派の大きさとよく重なっています。この論文で得られた結果をより広い視野に入れ、二項意見の他の2つのモデル（多数決モデルとq-voterモデル）の文脈の中で議論する。最後に、意見の動態モデルにおける社会的ヒステリシスの出現がなぜ望ましいのかを議論する。

We study the homogeneous symmetrical threshold model with independence (noise) by pair approximation and Monte Carlo simulations on Erdős-Rényi and Watts-Strogatz graphs. The model is a modified version of the famous Granovetter's threshold model: with probability p a voter acts independently, i.e., takes randomly one of two states ±1; with complementary probability 1-p, a voter takes a given state, if a sufficiently large fraction (above a given threshold r) of individuals in its neighborhood is in this state. We show that the character of the phase transition, induced by the noise parameter p, depends on the threshold r, as well as graph's parameters. For r=0.5 only continuous phase transitions are observed, whereas for r>0.5 discontinuous phase transitions also are possible. The hysteresis increases with the average degree 〈k〉 and the rewriting parameter β. On the other hand, the dependence between the width of the hysteresis and the threshold r is nonmonotonic. The value of r, for which the maximum hysteresis is observed, overlaps pretty well with the size of the majority used for the descriptive norms in order to manipulate people within social experiments. We put the results obtained within this paper into a broader picture and discuss them in the context of two other models of binary opinions: the majority-vote and the q-voter model. Finally, we discuss why the appearance of social hysteresis in models of opinion dynamics is desirable.